CHAUFFER le four à 350 °F. Battre au fouet le beurre d'arachide avec la vinaigrette, le gingembre et l'eau dans un bol moyen, jusqu'à consistance homogène; mettre de côté. Mélanger ensemble les choux et la carotte dans un grand bol. Ajouter 1/4 tasse de la sauce au beurre d'arachide; mélanger pour enrober. Couvrir et réfrigérer 1 heure.
DISPOSER les poitrines côte à côte dans un plat peu profond allant au four; badigeonner avec le reste de la sauce au beurre d'arachide. Cuire 20 min, ou jusqu'à ce que le poulet soit bien cuit (170 °F). Couper en lanières.
DRESSER la salade de chou sur une assiette de service; garnir avec le poulet et les oignons verts.